O perito matemático Benoît Mandelbrot foi responsável pelo desenvolvimento, em 1975, do conceito de fractal, que vem da palavra latina fractus (pode ser traduzido como "quebrado" ). O termo cunhado pelos franceses foi logo aceito pela comunidade científica e já faz parte do dicionário da Real Academia Espanhola (RAE) .

Um fractal é uma figura, que pode ser espacial ou plana, formada por componentes infinitos . Sua principal característica é que sua aparência e a maneira como é distribuída estatisticamente não varia, mesmo quando a escala usada na observação é modificada.

Fractais são, portanto, elementos classificados como semi-geométricos (devido à sua irregularidade não pertencem à geometria tradicional) que possuem uma estrutura essencial que se repete em diferentes escalas.

O fractal pode ser criado pelo homem, mesmo com intenções artísticas, embora existam também estruturas naturais que são fractais (como flocos de neve).

Segundo Mandelbrot, os fractais podem apresentar 3 tipos diferentes de auto - similaridade, o que significa que as partes têm a mesma estrutura que o conjunto total:

* auto-semelhança exata, o fractal é idêntico em qualquer escala;
* Quase-adequação, com a mudança de escala, as cópias do conjunto são muito semelhantes, mas não idênticas;
* Auto-similaridade estatística, o fractal deve ter dimensões estatísticas ou numéricas que sejam conservadas com a variação da escala.

Técnicas fractais são usadas, por exemplo, para compactar dados . Através do teorema da colagem, é possível encontrar um IFS (sistema de funções iteradas), que inclui as alterações que uma figura completa experimenta em cada um de seus fragmentos auto-similares. Quando a informação é codificada no IFS, é possível processar a imagem.

Falamos de música fractal quando um som é gerado e repetido de acordo com padrões de comportamento espontâneo que são frequentemente encontrados na natureza. Deve-se mencionar que existem programas de computador capazes de criar composições deste tipo sem intervenção humana.

O conjunto de Cantor é freqüentemente citado em relação aos fractais, embora não esteja correto. Sua definição, e que geralmente gera tal confusão, é a seguinte: pegue um segmento e divida-o em três, então remova o centro e repita a ação infinitamente com o resto.

A dimensão fractal

A geometria clássica não é ampla o suficiente para abranger os conceitos necessários para medir diferentes formas fractais. Se levarmos em conta que são elementos cujo tamanho muda incessantemente, não é fácil, por exemplo, calcular seu comprimento. A razão é que se você tentar medir uma linha fractal usando uma unidade tradicional, sempre haverá componentes que são tão pequenos e finos que não podem ser precisamente delimitados.

Na curva de Koch, traçada à direita, pode-se ver que, desde o seu nascimento, um terço cresce a cada passo; em outras palavras, o comprimento da porção que está localizada no começo aumenta infinitamente, determinando que cada curva é 4/3 da precedente.

Como o comprimento da linha fractal e o comprimento do instrumento de medição ou da unidade de medida escolhida estão diretamente relacionados, é absurdo usar essa noção. É por isso que foi criado o conceito de dimensão fractal que permite, quando falamos de linhas fractais, saber de que maneira ou em que grau elas ocupam uma parte do plano .

Em relação à geometria tradicional, um segmento tem uma dimensão, um círculo, duas e uma esfera, três. Como uma linha fractal não cobre toda a parte do plano, ela deve ter uma dimensão que não atinja dois.