Álgebra é o ramo da matemática que é orientado para a generalização das operações aritméticas através de sinais, letras e números . Na álgebra, letras e signos representam outra entidade através do simbolismo.

Linear, por outro lado, é um adjetivo que se refere ao que está ligado a uma linha (uma linha ou uma sequência). No campo da matemática, a ideia de linear refere-se àquilo que tem consequências que são proporcionais a uma causa.

É conhecida como álgebra linear para a especialização de álgebra que trabalha com matrizes, vetores, espaços vetoriais e equações do tipo linear . É uma área de conhecimento que se desenvolveu especialmente na década de 1840, com as contribuições do alemão Hermann Grassmann (1809-1877) e do irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865), entre outros matemáticos.

Espaços vetoriais são estruturas que surgem quando um conjunto que não está vazio é registrado, uma operação externa e uma operação interna. Vetores são os elementos que fazem parte do espaço vetorial. Em relação às matrizes, trata-se de um conjunto de números bidimensionais que permitem a representação dos coeficientes que os sistemas de equações lineares possuem.

William Rowan Hamilton é um dos nomes mais proeminentes no campo da matemática, já que foi ele quem cunhou o termo "vetor", além de ter criado os quatérnios. Este conceito se estende dos números reais, como acontece com os números complexos, e são grupos de quatro números que são muito úteis quando se estuda quantidades em três dimensões que esperam ter magnitude e endereço.

Os números que compõem o quatérnio devem satisfazer certas regras de adição, multiplicação e igualdade . Esta descoberta teve uma importância considerável para a matemática. Com relação ao conjunto de números reais, é definido como aquele em que os racionais são encontrados (zero, positivo e negativo) e irracional (aqueles que não podem ser expressos).

Seguindo a definição dos elementos tratados pela álgebra linear, é importante saber que um sistema de equações lineares é composto, como o próprio nome indica, de equações lineares (um conjunto de equações de primeiro grau), definidas um anel comutativo ou um corpo .

Espaços vetoriais, foco de estudo da álgebra linear, possuem dois conjuntos: um de vetores e outro de escalares. Os escalares são elementos dos corpos matemáticos que são usados ​​para realizar a descrição de um fenômeno com magnitude, embora sem direção; pode ser um número real, complexo ou constante.

Nas transformações lineares, os vetores nem sempre são seqüências escalares; Também é possível que sejam elementos de qualquer conjunto. Tanto é assim que um espaço vetorial pode surgir de qualquer conjunto em um campo fixo.

Outro ponto de interesse da álgebra linear é o grupo de propriedades que aparece quando estruturas adicionais são impostas no topo de espaços vetoriais; um exemplo muito frequente disso ocorre quando um produto interno é apresentado, isto é, um tipo de produto entre um par de vetores, o que dá origem à introdução de conceitos como o ângulo formado por dois vetores ou o comprimento deles .

É correto dizer que a álgebra linear é uma área ativa que se conecta com muitas outras, algumas das quais não pertencem à matemática, como equações diferenciais, análise funcional, engenharia, pesquisa operacional e computação gráfica. . Além disso, áreas da matemática, como a teoria dos módulos ou a álgebra multilinear, foram desenvolvidas a partir da álgebra linear.