A palavra que nos ocupa em primeiro lugar, limite, podemos dizer que é uma palavra que vem, etimologicamente falando, do latim. Em particular, emana do substantivo "limes", que pode ser traduzido como "borda ou borda".

A noção de limite tem vários significados. Pode ser uma linha que separa dois territórios, de um fim ao qual um certo tempo chega ou de uma restrição ou limitação.

Para matemática, um limite é uma magnitude fixa à qual os termos de uma sequência infinita de magnitudes se aproximam a cada vez.

Função, entretanto, também coincide com o prazo anterior no que diz respeito à sua origem. E, da mesma forma, vem do latim, mais precisamente do "functio", que é sinônimo de "função ou execução".

Função, por outro lado, é um conceito que se refere a diferentes questões. Neste caso, estamos interessados ​​na definição de função matemática (a relação f dos elementos de um conjunto A com os elementos de um conjunto B ).

O limite de expressão de uma função é usado no cálculo diferencial matemático e refere-se à proximidade entre um valor e um ponto . Por exemplo: se uma função f tiver um limite X em um ponto t, isso significa que o valor de f pode ser tão próximo de X quanto desejado, com pontos suficientemente próximos de t, mas diferentes.

Dentro do que seria o limite da função, teríamos que destacar a existência de uma teoria muito importante. Estamos nos referindo à teoria do sanduíche, também conhecida como o teorema sanduíche, que tem sua origem nos tempos do físico grego Arquimedes, que o utilizou como fez o matemático Eudoxo de Cnido, que foi discípulo do filósofo Platão.

No entanto, considera-se que o verdadeiro formulador disso não é outro senão o matemático e astrônomo alemão Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), que ficou na História pelo qualificativo de "Príncipe da Matemática".

Esse teorema temos que dizer que o que vem a estabelecer é que, se duas funções são escolhidas para o mesmo limite em relação a um ponto particular, qualquer outra função que seja estabelecida entre elas também compartilhará com elas o mesmo limite.

Dentro do escopo de análise matemática e cálculo, e mais exatamente na área de demonstrações, é onde normalmente recorremos ao uso da teoria do sanduíche, que também é chamada de teorema do ladrão e dos dois policiais.

Os limites das funções já foram analisados ​​no século XVII, embora a notação moderna tenha surgido no século XVIII a partir do trabalho de vários especialistas. Diz-se que Karl Weierstrass foi o primeiro matemático a propor uma técnica precisa, entre 1850 e 1860.

Em resumo, uma função f com limite X em t significa que esta função tende ao seu limite X próximo de t, com f (x) o mais próximo possível de X, mas fazendo x diferente de t . Em qualquer caso, a ideia de proximidade não é precisa, portanto, uma definição formal requer mais elementos.